文心一言 VS 訊飛星火 VS chatgpt （77）-- 算法導(dǎo)論7.3 2題

在 RANDOMIZED-QUICKSORT 的運(yùn)行過程中，最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 的調(diào)用次數(shù)為 O(n)。這是因?yàn)樵谧顗那闆r下，每次分區(qū)操作都會將數(shù)組分成大小相等的兩部分，因此每次都需要從剩下的 n-1 個(gè)元素中隨機(jī)選擇一個(gè)元素作為主元。這樣，每次分區(qū)操作都需要調(diào)用 RANDOM 函數(shù)，總共需要進(jìn)行 n 次分區(qū)操作，因此 RANDOM 的調(diào)用次數(shù)為 O(n)。

在最好情況下，RANDOM 的調(diào)用次數(shù)為 O(log n)。這是因?yàn)樵谧詈们闆r下，每次分區(qū)操作都會將數(shù)組分成大小為 n/2 和 n/2-1 的兩部分，這樣每次只需要從其中一部分中隨機(jī)選擇一個(gè)元素作為主元即可。這樣，每次分區(qū)操作只需要調(diào)用 RANDOM 函數(shù)一次，總共需要進(jìn)行 log(n) 次分區(qū)操作，因此 RANDOM 的調(diào)用次數(shù)為 O(log n)。

在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 被調(diào)用了 (n-1)*log2(n) + O(n) 次。在最好情況下，它被調(diào)用了 O(n) 次。

【資料圖】

以下是用 Go 語言實(shí)現(xiàn)的代碼：

package mainimport ("fmt""math")func partition(arr []int, low, high int) int {pivot := arr[high]i := low - 1for j := low; j < high; j++ {if arr[j] <= pivot {i++arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]}}arr[i+1], arr[high] = arr[high], arr[i+1]return i + 1}func quickSort(arr []int, low, high int) {if low < high {pi := partition(arr, low, high)quickSort(arr, low, pi-1)quickSort(arr, pi+1, high)}}func randomizedQuickSort(arr []int, n int) {randomizedPartition(arr, 0, n-1)quickSort(arr, 0, n-1)}func randomizedPartition(arr []int, low, high int) {rand.Seed(time.Now().UnixNano())pivotIndex := rand.Intn(high-low+1) + lowarr[pivotIndex], arr[high] = arr[high], arr[pivotIndex]pivotIndex = partition(arr, low, high)arr[pivotIndex], arr[high] = arr[high], arr[pivotIndex]}func main() {arr := []int{3, 8, 2, 5, 1, 4, 7, 6}n := len(arr)randomizedQuickSort(arr, n)fmt.Println("Sorted array:", arr)}

這段代碼實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)化快速排序算法，其中 randomizedPartition函數(shù)用于隨機(jī)選擇樞軸元素，并調(diào)整數(shù)組以使其有序。在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 被調(diào)用了 (n-1)*log2(n) + O(n) 次，而在最好情況下，它被調(diào)用了 O(n) 次。

在 RANDOMIZED-QUICKSORT 中，最壞情況下，每次遞歸調(diào)用 quicksort() 函數(shù)時(shí)都需要調(diào)用 RANDOM 生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)。因此，在最壞情況下，random() 被調(diào)用了 n! 次，其中 n 是待排序數(shù)組的大小。

以θ符號表示，最壞情況下，random() 被調(diào)用的次數(shù)為:θ(n!)。

在最好情況下，每次遞歸調(diào)用 quicksort() 函數(shù)時(shí)會使用數(shù)組中的一個(gè)元素作為隨機(jī)數(shù)，此時(shí) random() 被調(diào)用的次數(shù)為 n 次。

以θ符號表示，最好情況下，random() 被調(diào)用的次數(shù)為:θ(n^2)。

在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 可能會被調(diào)用 n 次，其中 n 是待排序數(shù)組的長度。這是因?yàn)樵陔S機(jī)選擇基準(zhǔn)值時(shí)，有可能每次選擇的基準(zhǔn)值都不同，因此需要多次調(diào)用 RANDOM 函數(shù)來生成隨機(jī)數(shù)。

在最好情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 可能會被調(diào)用 1 次或者 2 次。這是因?yàn)樵陔S機(jī)選擇基準(zhǔn)值時(shí)，有可能第一次選擇的基準(zhǔn)值就是排序數(shù)組中的最小值或最大值，這樣就不需要再次調(diào)用 RANDOM 函數(shù)了。如果第一次選擇的基準(zhǔn)值不是最小值或最大值，那么需要再次調(diào)用 RANDOM 函數(shù)來生成一個(gè)新的隨機(jī)數(shù)。

因此，最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 可能會被調(diào)用 n 次，最好情況下可能被調(diào)用 1 或 2 次。答案可以表示為：

最壞情況：O(n)

最好情況：O(1) 或 O(2)

在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器RANDOM被調(diào)用了nlogn次，其中n為待排序數(shù)組的大小。在最好情況下，隨機(jī)數(shù)生成器RANDOM被調(diào)用了O(1)次。

這是因?yàn)樵谧顗那闆r下，每次遞歸調(diào)用QUICKSORT都會將數(shù)組分成兩份，其中一份的大小為n/2，另一份的大小為1。由于我們將較小的一份作為基準(zhǔn)值，所以我們需要對較大的一份進(jìn)行遞歸調(diào)用。這個(gè)過程會一直持續(xù)到每個(gè)子數(shù)組的大小為1，此時(shí)我們就可以直接將它們按照隨機(jī)數(shù)排序。因此，總共需要進(jìn)行nlogn次遞歸調(diào)用。

在最好情況下，每次遞歸調(diào)用QUICKSORT都會將數(shù)組分成兩份，其中一份的大小為1，另一份的大小為n-1。由于我們將較大的一份作為基準(zhǔn)值，所以我們只需要對較小的一份進(jìn)行遞歸調(diào)用。由于每個(gè)子數(shù)組的大小為1，所以我們只需要對它們進(jìn)行一次排序，即可得到有序數(shù)組。因此，總共需要進(jìn)行O(1)次遞歸調(diào)用。

在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 會被調(diào)用 $O(\log n)$ 次，其中 $n$ 是要排序的元素?cái)?shù)量。

在最好情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 會被調(diào)用 $O(1)$ 次。

因此，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 在最壞情況下的平均運(yùn)行時(shí)間復(fù)雜度為 $O(\log n)$，在最好情況下的平均運(yùn)行時(shí)間復(fù)雜度為 $O(1)$。

在隨機(jī)化快速排序（RANDOMIZED-QUICKSORT）中，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 在每次選擇劃分元素時(shí)被調(diào)用。

在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 被調(diào)用的次數(shù)等于遞歸調(diào)用的次數(shù)。當(dāng)劃分中選擇的劃分元素總是使得數(shù)組分割得非常不均衡時(shí)，最壞情況發(fā)生。

對于長度為 n 的數(shù)組，在最壞情況下，遞歸調(diào)用 RANDOM 的次數(shù)可以表示為遞歸樹的高度 h，它是數(shù)組長度的對數(shù)級別。

因此，在最壞情況下，RANDOM 被調(diào)用的次數(shù)為 Θ(log n)。

在最好情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 僅被調(diào)用一次。當(dāng)每次都能選擇一個(gè)恰好平衡分割的劃分元素時(shí)，最好情況發(fā)生。

因此，在最好情況下，RANDOM 被調(diào)用的次數(shù)為 Θ(1)。

綜上所述：

在最壞情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 被調(diào)用 Θ(log n) 次。

在最好情況下，隨機(jī)數(shù)生成器 RANDOM 被調(diào)用 Θ(1) 次。

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