文心一言 VS 訊飛星火 VS chatgpt （70）-- 算法導論6.5 9題

要設計一個時間復雜度為 O(n log k) 的算法，將 k 個有序鏈表合并為一個有序鏈表，可以使用最小堆來實現 k 路歸并。

【資料圖】

以下是一個算法的步驟：

1.將每個鏈表中的元素插入到最小堆中，這樣每個鏈表中的元素就會根據它們的值排好序。

2.創建一個空鏈表，用于存儲合并后的結果。

3.重復以下步驟，直到最小堆為空：

a. 從最小堆中取出最小的元素，將其插入到空鏈表的末尾。

b. 如果該元素來自某個鏈表的元素還沒有被處理完，則將該鏈表中下一個元素插入最小堆。

c. 如果該元素來自所有鏈表的元素都已經處理完，則所有鏈表都已經完成合并，直接返回空鏈表即可。4. 返回空鏈表，即為合并后的結果。

該算法的時間復雜度為 O(n log k)，其中 n 是所有輸入鏈表包含的總的元素個數，log k 是插入和刪除操作最小堆的時間復雜度。

為了將 k 個有序鏈表合并為一個有序鏈表，我們可以使用最小堆來完成 k 路歸并。首先，我們需要創建一個大小為 n 的數組，用于存儲每個鏈表的當前元素。然后，我們遍歷所有鏈表，將它們的元素添加到數組中。接下來，我們使用最小堆來找到數組中的最小元素，并將其添加到結果鏈表中。最后，我們刪除最小堆中的最小元素，并將其從原鏈表中刪除。重復這個過程，直到所有鏈表都被處理完畢。

以下是算法的步驟：

1.初始化一個大小為 n 的數組 arr,用于存儲每個鏈表的當前元素。

2.遍歷所有鏈表，將它們的元素添加到數組 arr中。

3.創建一個大小為 n 的最小堆 minHeap。

4.從數組 arr中彈出最小元素，并將其添加到結果鏈表 result中。

5.從原鏈表中刪除最小元素。

6.如果最小堆不為空，將最小堆的根節點的下一個節點作為新的最小元素，并將其添加到數組 arr中。

7.如果最小堆的大小小于等于 1,跳出循環。

8.返回結果鏈表 result。

以下是算法的 Python 實現：

import heapqdef mergeKSortedLists(lists):    n = sum([len(lst) for lst in lists])    arr = [0] * n    pos = 0    # 將所有鏈表的元素添加到數組 arr 中    for lst in lists:        for val in lst:            arr[pos] = val            pos += 1    # 使用最小堆來合并數組 arr    minHeap = []    for i in range(n):        heapq.heappush(minHeap, (arr[i], i))    result = []    prev_val = None    prev_idx = None    while minHeap and len(result) < n:        curr_val, curr_idx = heapq.heappop(minHeap)        if curr_val != prev_val or (curr_idx is not None and curr_idx != prev_idx):            result.append(curr_val)            prev_val = curr_val            prev_idx = curr_idx if curr_idx is not None else n + 1        elif len(result) < n:            result.append(curr_val)            prev_val = curr_val            prev_idx = n + 1        if minHeap:            next_val, _ = heapq.heappop(minHeap)            arr[curr_idx] = next_val            if next_val != arr[curr_idx]:                heapq.heappush(minHeap, (arr[curr_idx], curr_idx))                arr[next_val] = arr[curr_idx]                heapq.heappush(minHeap, (arr[next_val], next_val))

1.首先,創建一個最小堆。

2.對于每個輸入鏈表，依次取出其前k個元素，將它們插入到最小堆中。

3.然后從最小堆中依次彈出k個元素，直到彈出的k個元素中的最小值大于等于當前輸入鏈表中最后一個元素的值為止。將彈出的元素插入到輸入鏈表中。

4.重復步驟3,直到最小堆為空或彈出的元素小于等于輸入鏈表中的最后一個元素的值為止。最后將剩余元素添加到輸入鏈表中。

5.最后將最小堆中的k個元素按照順序彈出并插入到輸入鏈表的末尾。

時間復雜度為O(n lgk),其中n是所有輸入鏈表包含的總的元素個數，k是輸入鏈表的數量。由于最小堆的插入和彈出操作都是常數時間復雜度，所以總時間復雜度為O(n lgk)。

以下是一個時間復雜度為 (n lgk) 的算法，用于將 k 個有序鏈表合并為一個有序鏈表：

1.創建一個最小堆，用于存儲 k 個有序鏈表的頭結點。

2.將每個有序鏈表的頭結點加入最小堆。

3.每次從最小堆中取出一個結點，并將其鏈表的所有元素添加到結果鏈表中。

4.如果當前鏈表還有剩余元素，則將其頭結點加入最小堆。

5.重復步驟 3 和 4，直到所有鏈表的元素都被添加到結果鏈表中。

該算法的時間復雜度主要由最小堆的操作和鏈表的遍歷組成。在最壞情況下，每個鏈表都需要遍歷一次，因此鏈表的遍歷時間復雜度為 O(n)。而最小堆的操作時間復雜度為 O(lgk)，因此整個算法的時間復雜度為 O(n lgk)。

以下是算法的實現代碼：

def mergeKSortedLists(lists):     n = len(lists)     total_elements = sum(len(list_) for list_ in lists)     min_heap = []   # Add the head of each sorted list to the min heap     for i in range(n):         min_heap.append(lists[i][0])   # Merge the lists by 反復地將最小堆頂元素添加到結果列表中     result = []     while min_heap:         min_value = heapq.heappop(min_heap)         result.append(min_value)       # If the current list still has elements, add its head to the min heap         if lists[i][1]!= None:             min_heap.append(lists[i][1])   return result  

其中，lists 是一個包含 k 個有序鏈表的列表，每個鏈表都是一個元組，包含鏈表的頭結點和剩余元素。在函數中，我們首先計算了所有鏈表中元素的總數，然后創建了一個最小堆，并將每個鏈表的頭結點添加到最小堆中。接下來，我們使用 heapq 模塊反復地將最小堆頂元素添加到結果列表中，并將當前鏈表的頭結點添加到最小堆中，直到所有鏈表的元素都被添加到結果列表中。最后，我們返回結果列表。

首先，我們將所有輸入的鏈表放入一個最小堆中。對于每個鏈表，我們取出其最后一個元素，并將其加入到新的鏈表中。然后，我們將堆的大小減一，如果堆的大小為零，則將堆從鏈表中刪除。我們重復這個過程，直到所有的鏈表都被合并。

下面是算法的 Python 實現：

from collections import MinHeapdef merge_k_sorted_lists(lists):    heap = MinHeap()    for list in lists:        heapq.heappush(heap, list[-1])    merged_list = []    while heap:        merged_list.append(heap.heappop())    return merged_list

該算法的時間復雜度為 (n lgk)，因為在最壞情況下，我們需要遍歷所有的輸入鏈表，并在每個鏈表上執行一次插入操作。由于我們使用了最小堆，因此插入操作的時間復雜度為 logk。總的時間復雜度為 n logk。

好的，基于提示，我們可以使用最小堆來完成 k 路歸并。具體步驟如下：

1.首先，我們需要定義一個結構體 ListNode，表示鏈表的一個節點。

struct ListNode {    int val;    ListNode* next;    // 指向下一個節點的指針};

2.然后，我們需要定義一個比較函數 cmp，用于比較兩個節點的大小，以便將它們插入到最小堆中。

bool cmp(ListNode* a, ListNode* b) {    return a->val > b->val;}

3.接下來，我們需要使用一個大小為 k 的最小堆來存儲 k 個有序鏈表的頭結點。我們可以使用 C++ 中的 priority_queue，它是一個堆的結構，并且默認情況下使用小頂堆。

priority_queue, greater> minHeap;

4.然后，我們遍歷每個鏈表，將它們的頭結點插入到最小堆中。

for (int i = 0; i < k; i++) {    ListNode* cur = mergedList[i];    while (cur != NULL) {        minHeap.push(cur);        cur = cur->next;    }}

5.最后，我們從最小堆中依次取出每個鏈表的頭結點，并將它們連接起來，形成一個有序鏈表。

ListNode* result = NULL;while (!minHeap.empty()) {    ListNode* cur = minHeap.top();    minHeap.pop();    if (result == NULL) {        result = cur;    } else {        result->next = cur;    }}

6.最后，我們返回合并后的有序鏈表的頭結點。

時間復雜度分析：

1.插入操作的時間復雜度為 O(logk)，因為最小堆的大小為 k，插入一個節點只需要將它與堆頂元素比較并進行調整即可。

2.取出操作的時間復雜度為 O(1)，因為最小堆的大小為 k，取出堆頂元素只需要將堆頂元素與堆頂元素比較并進行調整即可。

3.總的時間復雜度為 O(n logk)，其中 n 是所有輸入鏈表包含的總的元素個數。因為需要遍歷每個鏈表，將它們的頭結點插入到最小堆中，并從最小堆中依次取出每個鏈表的頭結點，并將它們連接起來，形成一個有序鏈表。

希望這個解答對您有幫助！

要設計一個時間復雜度為 O(n lgk) 的算法，將 k 個有序鏈表合并為一個有序鏈表，可以使用最小堆來完成 k 路歸并。下面是算法的步驟：

1.創建一個最小堆，并初始化為空。該堆將用于選擇 k 個鏈表中當前最小的元素。

2.遍歷 k 個有序鏈表，將每個鏈表的頭節點插入最小堆中。同時，記錄每個鏈表的當前位置指針。

3.初始化一個空鏈表作為合并后的有序鏈表。

4.在最小堆不為空的情況下，執行以下操作：

從最小堆中移除堆頂元素（即當前最小的元素），將其加入合并后的有序鏈表中。

然后，將該元素所在的鏈表的下一個節點插入最小堆中，同時更新鏈表的當前位置指針。

5.當最小堆為空時，合并過程結束。返回合并后的有序鏈表。

以下是使用 Python 代碼實現上述算法的示例：

import heapqclass ListNode:    def __init__(self, val=0, next=None):        self.val = val        self.next = nextdef mergeKLists(lists):    # 創建最小堆，并初始化為空    min_heap = []        # 將每個鏈表的頭節點插入最小堆中，并記錄當前位置指針    for i in range(len(lists)):        if lists[i]:            heapq.heappush(min_heap, (lists[i].val, i))            lists[i] = lists[i].next        # 初始化合并后的有序鏈表    dummy = ListNode(0)    current = dummy        # 進行 k 路歸并    while min_heap:        val, i = heapq.heappop(min_heap)  # 移除堆頂元素        current.next = ListNode(val)      # 將最小元素添加到合并后的鏈表中        current = current.next                    if lists[i]:            heapq.heappush(min_heap, (lists[i].val, i))  # 將下一個節點插入最小堆中            lists[i] = lists[i].next        return dummy.next

這個算法的時間復雜度為 O(n lgk)，其中 n 是所有輸入鏈表包含的元素個數，k 是有序鏈表的數量。算法的整體思想是利用最小堆來選擇當前最小的元素，并將其插入到合并后的有序鏈表中。同時，將該元素所在鏈表的下一個節點插入最小堆中，以便下一輪選擇最小元素。在算法執行的過程中，每個元素都會被處理一次，所以時間復雜度為 O(n)。而堆的插入和刪除操作的時間復雜度為 O(lgk)，在最壞情況下，需要進行 k 次插入和刪除操作，所以總的時間復雜度為 O(n lgk)。

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